علوم محبوب
غیر قابل درک ترین چیز درباره ی جهان،قابل درک بودن آنستعلوم محبوب
غیر قابل درک ترین چیز درباره ی جهان،قابل درک بودن آنستقدر ستاره ها را بدانیم!
تا کنون در شب از دور نور چراغ های یک شهر یا روستا را
دیده اید؟ برخی پُر نور و برخی کم نورتر به نظر می رسند. آیا می توانید
بگویید کدام چراغ واقعاً پر نورتر یاکدام یک کم نورتر است؟ درباره ی ستاره
ها چطور؟ هنگامی که به آسمان نگاه می کنیم نیز برخی از ستاره ها پر نورتر
از دیگران به نظر می رسند. چگونه می توانیم بیان کنیم که یک ستاره چقدر از
دیگر ستاره ها پُر نورتر یا کم نورتر است؟
هر وقت بخواهیم یکی از کمیت های فیزیکی را در مورد دو جسم با هم مقایسه کنیم، باید به آن کمیت «عدد» نسبت بدهیم. برای نمونه، اگر بگوییم طول میز بلندتر از طول مداد است، هیچ کس متوجه نخواهد شد که طول میز چقدر است. بنابراین باید طول میز و مداد را با عددهای قابل مقایسه بیان کنیم تا شنونده به میزان بزرگی میز پی ببرد. برای مقایسه ی شدت نوری که از ستاره ها می بینیم هم باید بتوانیم به آن ها «عدد» نسبت بدهیم.
ستاره های ملاقه ی دب اکبر از قدر حدود 2 و ستاره ی دُبُران در صورت فلکی ثور و قلب العقرب در صورت فلکی عقرب، تقریباً از قدر 1 و ستاره ی آلفا-قنطورس و نسرِ واقع از قدر حدود صفر هستند.
مقیاس قدر بر پایه ی نور ظاهری ای که از ستاره ها می بینیم، استوار است. اما نکته ی جالب توجه این است که واکنش چشم ما نسبت به شدت نوری که وارد چشم ما می شود، خطی نیست! یعنی اگر شدت نور جسمی 2برابر دیگری باشد، تفاوت درخشندگی این دو جسم در چشم ما کمتر از 2 به نظر می رسد.
از نظر چشم انسان، ستاره های قدر اول 5 بار پُر نورتر از ستاره های قدر ششم هستند، اما اگر از ابزارهای نورسنج استفاده کنیم متوجه می شویم که در واقع ستاره های قدر اول، 100 بار پر نورتر از ستاره های قدر ششم هستند! یعنی ستاره های قدر اول، حدود 2/51 بار پر نورتر از ستاره های قدر دوم و ستاره های قدر دوم، 2/51 بار پر نورتر از ستاره های قدر سوم هستند. بنابراین ستاره های قدر اول، 2/51×2/51، یعنی حدود 6/3 بار پر نورتر از ستاره های قدر سوم هستند و به همین ترتیب می توانیم حساب کنیم که ستاره های با اختلاف قدر مشخص، در واقع چقدر اختلاف درخشندگی دارند.
همان گونه که با نگاه کردن از دور به چراغ های شهر نمی توانیم بگوییم که واقعاً کدام پرنورتر است، با مقایسه ی قدر ظاهری ستاره ها نیز نمی توانیم بفهمیم که واقعاً کدام پر نورتر است. هنگامی که به ستاره های آسمان نگاه می کنیم، می بینیم که ستاره ی شباهنگ از نظر ظاهری پر نورترین ستاره ی آسمان است و در ظاهر، نسر واقع پر نورتر از ستاره ی رِدف، در صورت فلکی دجاجه به نظر می رسد، اما در واقع رِدف صدها برابر پر نورتر از نسر واقع است، اما چون بسیار دورتر است، در ظاهر کم سوتر به نظر می رسد. برای این که بتوانیم درخشندگی واقعی ستاره ها را با هم مقایسه کنیم، باید از فاصله ی یکسانی به آن ها نگاه کنیم. اخترشناسان برای این کار به طور قراردادی فاصله ی 10 پارسکی (32 سال نوری) را انتخاب کرده اند. اگربتوانیم همه ی ستاره ها را در فلاصله ی استاندارد 32 سال نوری قرار بدهیم، درخشندگی ای که از ستاره ها می بینیم، قدر مطلق نام دارد.
با مقایسه ی قدر مطلق ستاره ها می توانیم تشخیص بدهیم که کدام ستاره واقعاً پر نورتر است.
خورشید که پرنورترین جسم آسمانی است و حیات همه ی موجودات زنده ی زمین به آن وابسته است، اگر در فاصله ی 10 پارسکی قرار بگیرد از قدر 4/86 دیده خواهد شد، در حالی که قدر مطلق رِدف 7- است. یعنی خورشید ما در مقایسه با دیگر ستاره ها چندان هم ستاره ی پر نورتر و مهمی به حساب نمی آید.
از مقایسه ی قدر ظاهری و قدر مطلق ستاره ها می توان به فاصله ی ستاره ها پی برد. اگر فاصله ی ستاره ای دو برابر شود، شدت نور دریافتی (درخشندگی ستاره) یک چهارم و با سه برابر شدن فاصله، نور دریافتی، یک نهم می شود. هر چه درخشندگی ظاهری کمتر شود، قدر ظاهری هم کمتر می شود. ستاره هایی که در فاصله ی 10 پارسکی قرار دارند، قدر مطلق و ظاهری آن ها با هم برابر است. ستاره هایی که فاصله ی واقعی آن ها از 10 پارسک بیشتر است، قدر مطلق شان کمتر از قدر ظاهری شان است و ستاره هایی که فاصله ی واقعی شان از 10 پارسک کمتر است، قدر مطلق شان بیشتر از قدر ظاهری شان است.
شاید تشخیص و مقایسه ی قدر ظاهری ستاره ها در ابتدا کار مشکلی به نظر برسد، اما با استفاده از جدول هایی که قدر ظاهری ستاره های مشهور در آن موجود است، با کمی مقایسه و تمرین می توانید با نگاه کردن به اجرام آسمانی، نور ظاهری آن ها را تخمین بزنید.
هر وقت بخواهیم یکی از کمیت های فیزیکی را در مورد دو جسم با هم مقایسه کنیم، باید به آن کمیت «عدد» نسبت بدهیم. برای نمونه، اگر بگوییم طول میز بلندتر از طول مداد است، هیچ کس متوجه نخواهد شد که طول میز چقدر است. بنابراین باید طول میز و مداد را با عددهای قابل مقایسه بیان کنیم تا شنونده به میزان بزرگی میز پی ببرد. برای مقایسه ی شدت نوری که از ستاره ها می بینیم هم باید بتوانیم به آن ها «عدد» نسبت بدهیم.
ستاره های ملاقه ی دب اکبر از قدر حدود 2 و ستاره ی دُبُران در صورت فلکی ثور و قلب العقرب در صورت فلکی عقرب، تقریباً از قدر 1 و ستاره ی آلفا-قنطورس و نسرِ واقع از قدر حدود صفر هستند.
مقیاس قدر بر پایه ی نور ظاهری ای که از ستاره ها می بینیم، استوار است. اما نکته ی جالب توجه این است که واکنش چشم ما نسبت به شدت نوری که وارد چشم ما می شود، خطی نیست! یعنی اگر شدت نور جسمی 2برابر دیگری باشد، تفاوت درخشندگی این دو جسم در چشم ما کمتر از 2 به نظر می رسد.
از نظر چشم انسان، ستاره های قدر اول 5 بار پُر نورتر از ستاره های قدر ششم هستند، اما اگر از ابزارهای نورسنج استفاده کنیم متوجه می شویم که در واقع ستاره های قدر اول، 100 بار پر نورتر از ستاره های قدر ششم هستند! یعنی ستاره های قدر اول، حدود 2/51 بار پر نورتر از ستاره های قدر دوم و ستاره های قدر دوم، 2/51 بار پر نورتر از ستاره های قدر سوم هستند. بنابراین ستاره های قدر اول، 2/51×2/51، یعنی حدود 6/3 بار پر نورتر از ستاره های قدر سوم هستند و به همین ترتیب می توانیم حساب کنیم که ستاره های با اختلاف قدر مشخص، در واقع چقدر اختلاف درخشندگی دارند.
همان گونه که با نگاه کردن از دور به چراغ های شهر نمی توانیم بگوییم که واقعاً کدام پرنورتر است، با مقایسه ی قدر ظاهری ستاره ها نیز نمی توانیم بفهمیم که واقعاً کدام پر نورتر است. هنگامی که به ستاره های آسمان نگاه می کنیم، می بینیم که ستاره ی شباهنگ از نظر ظاهری پر نورترین ستاره ی آسمان است و در ظاهر، نسر واقع پر نورتر از ستاره ی رِدف، در صورت فلکی دجاجه به نظر می رسد، اما در واقع رِدف صدها برابر پر نورتر از نسر واقع است، اما چون بسیار دورتر است، در ظاهر کم سوتر به نظر می رسد. برای این که بتوانیم درخشندگی واقعی ستاره ها را با هم مقایسه کنیم، باید از فاصله ی یکسانی به آن ها نگاه کنیم. اخترشناسان برای این کار به طور قراردادی فاصله ی 10 پارسکی (32 سال نوری) را انتخاب کرده اند. اگربتوانیم همه ی ستاره ها را در فلاصله ی استاندارد 32 سال نوری قرار بدهیم، درخشندگی ای که از ستاره ها می بینیم، قدر مطلق نام دارد.
با مقایسه ی قدر مطلق ستاره ها می توانیم تشخیص بدهیم که کدام ستاره واقعاً پر نورتر است.
خورشید که پرنورترین جسم آسمانی است و حیات همه ی موجودات زنده ی زمین به آن وابسته است، اگر در فاصله ی 10 پارسکی قرار بگیرد از قدر 4/86 دیده خواهد شد، در حالی که قدر مطلق رِدف 7- است. یعنی خورشید ما در مقایسه با دیگر ستاره ها چندان هم ستاره ی پر نورتر و مهمی به حساب نمی آید.
از مقایسه ی قدر ظاهری و قدر مطلق ستاره ها می توان به فاصله ی ستاره ها پی برد. اگر فاصله ی ستاره ای دو برابر شود، شدت نور دریافتی (درخشندگی ستاره) یک چهارم و با سه برابر شدن فاصله، نور دریافتی، یک نهم می شود. هر چه درخشندگی ظاهری کمتر شود، قدر ظاهری هم کمتر می شود. ستاره هایی که در فاصله ی 10 پارسکی قرار دارند، قدر مطلق و ظاهری آن ها با هم برابر است. ستاره هایی که فاصله ی واقعی آن ها از 10 پارسک بیشتر است، قدر مطلق شان کمتر از قدر ظاهری شان است و ستاره هایی که فاصله ی واقعی شان از 10 پارسک کمتر است، قدر مطلق شان بیشتر از قدر ظاهری شان است.
شاید تشخیص و مقایسه ی قدر ظاهری ستاره ها در ابتدا کار مشکلی به نظر برسد، اما با استفاده از جدول هایی که قدر ظاهری ستاره های مشهور در آن موجود است، با کمی مقایسه و تمرین می توانید با نگاه کردن به اجرام آسمانی، نور ظاهری آن ها را تخمین بزنید.
آیا ریاضیات علمی منطقی است؟
منطق ریاضى، ترجمه mathematical logic است. از منطق ریاضى دو معنا مستفاد مى شود.۱-
منطق ریاضى به معناى خاص که در واقع باید ترجمه The logic of mathematic
باشد چرا که ریاضیات مانند هر علم دیگرى از نظمهایى برخوردار است که این
نظمها تحت عنوان منطق مى آید و منطق ریاضى به معناى خاص بررسى ریاضى این
نظمها یا قواعد است.
۲- معناى عامى هم براى منطق ریاضى متصور است که عبارت است از: استفاده از روشها و تکنیکهاى ریاضى براى بررسى منطق. به این معنا که منطق ریاضى یک علم کاربردى است و در مقوله ریاضیات کاربردى قرار مى گیرد. بین دو معناى عام و خاصى که مطرح شد یک رابطه واقعى عام و خاص نیز وجود دارد.
کتاب «منطق ریاضى» ، کتابى به معناى خاص منطق ریاضى است. یعنى بررسى منطق متعلق به ریاضیات نه منطق به معناى عام. در واقع باید گفت که معناى آن اخص است. یعنى کتابى است براى بررسى ریاضیات کلاسیک. شاید این سؤال پیش آید که ریاضیات کلاسیک چیست؟ و مگر ریاضیات غیر کلاسیک نیز وجود دارد.
به ویژه برهان خلف به عنوان یک برهان که در ریاضیات کلاسیک به کار مى رود در ریاضیات غیر کلاسیک بر قرار نیست و قاعدتاً منطقى را مى طلبد که با منطق ریاضیات کلاسیک متفاوت است. در این منطق، ریاضیات ساختى اصل طرد شق ثالث یک اصل معتبر ریاضى نیست.
بنابراین منطق ریاضیات ساختى و به عبارت معروفتر منطق شهود گرایانه اصول و قواعد کمترى از منطق کلاسیک را دارد.
کتاب «منطق ریاضى» بسیار خاص است. یعنى عبارت است از: بررسى منطق ریاضیات کلاسیک. اما بین این معناى خاص و عام منطق ریاضى رابطه واقعى وجود دارد. به این معنا که حتى در معناى خاص منطق ریاضى ویژگى عام معنایى هم در این مورد وجود دارد. یعنى این که ما از تکنیکها و روشهاى ریاضیات در بررسى تحقیق درباره ریاضیات سود مى بریم.
پس منطق ریاضى به دو وجه ریاضى است. نخست اینکه موضوع آن موضوع منطق ریاضى است، دوم اینکه روش آن ریاضى است. یعنى اینکه در عالم ریاضیات با استفاده از اصول و قواعد ریاضى، ما به موضوع منطق ریاضى مى پردازیم. پس منطق ریاضى به معناى عام براى موضوع ریاضیات به دو وجه ریاضى است و این نکته اى نسبتاً مهم است.
ریاضى بودن، روش تألیف دقیق دارد . اگر بخواهیم خیلى دقیق باشیم - و من اصرار به دقیق بودن آن دارم - این است که وقتى مى گوییم روش ریاضى است یعنى در عالم نظریه، مجموعه اصول و قواعدى ما را مجاز مى کند که چه اعمالى را انجام دهیم و یا چه اعمالى را انجام ندهیم. اما اگر با مسامحه بخواهیم صحبت کنیم روش ریاضى همان علائم و نمادهایى است که براى اشاره به اشیا و اعمال جمع و ضرب و تقسیم به کار مى رود.
بدیهى است که هر چه این تکنیک ریاضى را در سطح بالاترى به کار بریم یعنى هر چه هزینه بیشترى بپردازیم چیز بهترى به دست مى آوریم به همین دلیل است که غالباً قضایاى شگفت انگیز بنیان افکن علم ریاضى از تکنیکهاى پیشرفته اى در اثبات برخوردار است و هر چه روش ریاضى را محدودتر کنیم طبعاً چیز کمترى به دست مى آوریم.
به معناى عام منطق ریاضى باز مى گردیم. اما منطق چیست . آیا واقعاً یک منطق وجود دارد و یا منطقهاى مختلفى وجود دارند؟ آیا هر کدام از اینها روش خاص ریاضى را براى بحث مى طلبد؟ فارغ از اینکه ما چه تعریفى براى منطق قائل باشیم شکى نیست که نقطه آغازین منطق ریاضى ابداع زبان مناسب است و این پیشفرض علمى منطق ریاضى است که منطق یا به عبارتى دیگر نظمهاى تفکر در قالب زبان متجلى مى شوند.
بنابراین زبان، بحث فلسفى عمیقى را مى طلبد. چیزى که در قالب زبان نیاید در قلمرو کار منطق و ریاضى قرار نمى گیرد. این زبان، زبان طبیعى نیست گرچه با بررسى و تجزیه و تحلیل زبان طبیعى ساخته مى شوند. این زبان را اصطلاحاً «زبان صورى» مى گوییم.
در این زبان نمادهایى را به طور صورى ابداع مى کنیم که این ابداع نمادها آن را از زبان طبیعى جدا مى کند. اما در عین حال این نمادها بدون مبنا انتخاب و ابداع نمى شوند.
این نمادها با تجزیه و تحلیل زبان طبیعى و اجزاى زبان طبیعى ساخته مى شود. بنابراین با تجزیه و تحلیل زبان سعى داریم مدل ریاضى بسازیم. به عبارتى دیگر این بخشى از کار منطق ریاضى است که ما براى نحوى از زبان ابتدا مدل ریاضى مى سازیم.
اما مفاهیم دیگرى مثل مفهوم صدق یا حقیقت یا تعریف پذیرى در قلمرو معنا شناسى و دلالت شناسى قرار مى گیرند. قسمت دوم کار، مدل سازى براى معنا شناسى یا دلالت شناسى زبان است. اما در منطق ریاضى بین نحو کلام یا زبان و یا معناشناسى زبان براى جلوگیرى از هر نوع خلط احتمالى جدایى است.
نحو در زبان صورى چیزى شبیه گرامر و دستور زبان است. یکى از مسائل اساسى که در این مرحله در منطق ریاضى به آن توجه شده این است که بین زبانى که به عنوان شىء ساختیم و زبانى که در آن درباره این شىء که در زبان هست مى خواهیم صحبت کنیم، تمایز اساسى وجود دارد. بنابراین هوشمندى در زبان جلوگیرى از پارادوکسهایى است که در طول تاریخ وجود داشته و غالباً ناشى از خلط زبان و مفاهیم فرا زبانى بود مثل عبارت پارادوکس دروغگو.
یکى از مفاهیمى که به نوعى مشترک در زبان شناسى، فلسفه و منطق است و شاید یکى از مفاهیم بسیار اساسى باشد مفهوم «معنادارى» است. اما متأسفانه باید گفت هیچ کدام از این سه شاخه تا کنون قادر به ارائه یک مدل از آن نشده اند.
در این زمینه تحقیقات همچنان ادامه دارد. از مفاهیم اساسى که در نحو زبان وجود دارد مفهوم «برهان» است که در مقابل مفهوم «صدق» قرار دارد. یکى دیگر از علایق اساسى منطق ریاضى رابطه این دو است. اینکه ما در نحو زبان مفاهیمى داریم و آنها را ابداع کردیم و همین طور در دلالت شناسى زبان مفاهیمى را مدل سازى ریاضى کردیم و طبیعتاً روابط به این دو مقوله از علائق اساسى منطق است.
اینکه آیا در یک دستگاه منطقى گزاره اى مثل E اثبات یا استنتاج شود کاملاً یک مفهوم نحوى است که چگونه یک جمله را از بقیه مفروضاتتان تولید کنید. تولید کاملاً یک مفهوم مبتنى بر گرامر زبان است و از طرف دیگر بپرسید که آیا این جمله راست است یا دروغ؟ یک مفهوم معنایى است اینکه خارج از زبان بین این دو چه رابطه اى وجود دارد و بررسى رابطه این دو مفهوم از علائق ذاتى بررسى منطق ریاضى است.
تدوین منطق ریاضى اساساً کار سختى است ولى مى توان گفت بین سالهاى ۱۸۵۰ تا ۱۹۵۰ این کار توسط چندین نفر صورت گرفته است. به نظر من ارسطو اولین کسى که این بنا را بنیاد نهاد. فارغ از اینکه منطق ارسطو از نظر منطق ریاضى چقدر موجه بنماید و مهم باشد، به نظر من کاخ عظیم منطق ریاضى را ارسطو ساخته است.
این کاخ چنان مستحکم بود که حداقل تا ۱۸۷۹ وقتى که فرگه وارد میدان شد، دوام آورد و تصویر و تصور ما را با تجزیه و تحلیلى که نسبت به زبان آغاز کرد از منطق دگرگون کرد. منطق ارسطویى، تحلیلى را از اجزاى جمله شروع مى کند که مبتنى بر موضوع محمول است و رابطه این تصویر را فرگه دگرگون کرد و آن را تبدیل به تابع و شناسه نمود.
بدین ترتیب مفهومى ریاضى وارد میدان شد و تصویر و تصور ما را از مفهوم گزاره و جمله تغییر داد. علاوه بر این فرگه کارهاى دیگرى هم انجام داد که بنیاد منطق ریاضى جدید مبتنى بر کارهاى فرگه است.
سومین کسى که کار انقلابى در منطق کرد اما مبتنى بر کارهاى فرگه بود گودل است. او در حوالى سالهاى ۱۹۳۱ و ۱۹۳۰ دو نوع قضایاى تمامیت و قضایاى نا تمامیت را ارائه کرد. قضیه تمامیت باز مى گردد به همان مفهوم و سؤالى که من در رابطه نحو و معناشناسى مطرح کردم.
آیا در یک دستگاه منطقى یک حکم یا یک گزاره قابل استنتاج صادق است و بالعکس در حکمى که صادق است هر معنایى در همه جهانهاى ممکن آیا این قابل استنتاج است و اگر این دستگاه چنین ویژگى داشته باشد نشان دهنده این است که این دستگاه کامل و تمام است.
گودل در ۱۹۳۰ ثابت کرد که این بنیانگذارى منطق بر شالوده تفکر فرگه براى منطق کامل هست. قضایاى نا تمامیت گودل پیچیده تر و البته مأیوس کننده تر براى تفکر بشرى است.
منبع: http://www.academist.ir
۲- معناى عامى هم براى منطق ریاضى متصور است که عبارت است از: استفاده از روشها و تکنیکهاى ریاضى براى بررسى منطق. به این معنا که منطق ریاضى یک علم کاربردى است و در مقوله ریاضیات کاربردى قرار مى گیرد. بین دو معناى عام و خاصى که مطرح شد یک رابطه واقعى عام و خاص نیز وجود دارد.
کتاب «منطق ریاضى» ، کتابى به معناى خاص منطق ریاضى است. یعنى بررسى منطق متعلق به ریاضیات نه منطق به معناى عام. در واقع باید گفت که معناى آن اخص است. یعنى کتابى است براى بررسى ریاضیات کلاسیک. شاید این سؤال پیش آید که ریاضیات کلاسیک چیست؟ و مگر ریاضیات غیر کلاسیک نیز وجود دارد.
آیا ریاضیات علمی منطقی است؟
جواب این است که با توجه به نوع نگرش فلسفى که نسبت به اشیاء ریاضى و عالم ریاضى داریم ریاضیات غیر کلاسیک هم وجود دارد. به تسامح مى توان گفت که در ریاضیات کلاسیک شیوه هایى از استدلال و برهان وجود دارد که در ریاضیات غیرکلاسیک مجاز نیست.به ویژه برهان خلف به عنوان یک برهان که در ریاضیات کلاسیک به کار مى رود در ریاضیات غیر کلاسیک بر قرار نیست و قاعدتاً منطقى را مى طلبد که با منطق ریاضیات کلاسیک متفاوت است. در این منطق، ریاضیات ساختى اصل طرد شق ثالث یک اصل معتبر ریاضى نیست.
بنابراین منطق ریاضیات ساختى و به عبارت معروفتر منطق شهود گرایانه اصول و قواعد کمترى از منطق کلاسیک را دارد.
کتاب «منطق ریاضى» بسیار خاص است. یعنى عبارت است از: بررسى منطق ریاضیات کلاسیک. اما بین این معناى خاص و عام منطق ریاضى رابطه واقعى وجود دارد. به این معنا که حتى در معناى خاص منطق ریاضى ویژگى عام معنایى هم در این مورد وجود دارد. یعنى این که ما از تکنیکها و روشهاى ریاضیات در بررسى تحقیق درباره ریاضیات سود مى بریم.
پس منطق ریاضى به دو وجه ریاضى است. نخست اینکه موضوع آن موضوع منطق ریاضى است، دوم اینکه روش آن ریاضى است. یعنى اینکه در عالم ریاضیات با استفاده از اصول و قواعد ریاضى، ما به موضوع منطق ریاضى مى پردازیم. پس منطق ریاضى به معناى عام براى موضوع ریاضیات به دو وجه ریاضى است و این نکته اى نسبتاً مهم است.
ریاضى بودن، روش تألیف دقیق دارد . اگر بخواهیم خیلى دقیق باشیم - و من اصرار به دقیق بودن آن دارم - این است که وقتى مى گوییم روش ریاضى است یعنى در عالم نظریه، مجموعه اصول و قواعدى ما را مجاز مى کند که چه اعمالى را انجام دهیم و یا چه اعمالى را انجام ندهیم. اما اگر با مسامحه بخواهیم صحبت کنیم روش ریاضى همان علائم و نمادهایى است که براى اشاره به اشیا و اعمال جمع و ضرب و تقسیم به کار مى رود.
بدیهى است که هر چه این تکنیک ریاضى را در سطح بالاترى به کار بریم یعنى هر چه هزینه بیشترى بپردازیم چیز بهترى به دست مى آوریم به همین دلیل است که غالباً قضایاى شگفت انگیز بنیان افکن علم ریاضى از تکنیکهاى پیشرفته اى در اثبات برخوردار است و هر چه روش ریاضى را محدودتر کنیم طبعاً چیز کمترى به دست مى آوریم.
به معناى عام منطق ریاضى باز مى گردیم. اما منطق چیست . آیا واقعاً یک منطق وجود دارد و یا منطقهاى مختلفى وجود دارند؟ آیا هر کدام از اینها روش خاص ریاضى را براى بحث مى طلبد؟ فارغ از اینکه ما چه تعریفى براى منطق قائل باشیم شکى نیست که نقطه آغازین منطق ریاضى ابداع زبان مناسب است و این پیشفرض علمى منطق ریاضى است که منطق یا به عبارتى دیگر نظمهاى تفکر در قالب زبان متجلى مى شوند.
بنابراین زبان، بحث فلسفى عمیقى را مى طلبد. چیزى که در قالب زبان نیاید در قلمرو کار منطق و ریاضى قرار نمى گیرد. این زبان، زبان طبیعى نیست گرچه با بررسى و تجزیه و تحلیل زبان طبیعى ساخته مى شوند. این زبان را اصطلاحاً «زبان صورى» مى گوییم.
در این زبان نمادهایى را به طور صورى ابداع مى کنیم که این ابداع نمادها آن را از زبان طبیعى جدا مى کند. اما در عین حال این نمادها بدون مبنا انتخاب و ابداع نمى شوند.
این نمادها با تجزیه و تحلیل زبان طبیعى و اجزاى زبان طبیعى ساخته مى شود. بنابراین با تجزیه و تحلیل زبان سعى داریم مدل ریاضى بسازیم. به عبارتى دیگر این بخشى از کار منطق ریاضى است که ما براى نحوى از زبان ابتدا مدل ریاضى مى سازیم.
اما مفاهیم دیگرى مثل مفهوم صدق یا حقیقت یا تعریف پذیرى در قلمرو معنا شناسى و دلالت شناسى قرار مى گیرند. قسمت دوم کار، مدل سازى براى معنا شناسى یا دلالت شناسى زبان است. اما در منطق ریاضى بین نحو کلام یا زبان و یا معناشناسى زبان براى جلوگیرى از هر نوع خلط احتمالى جدایى است.
نحو در زبان صورى چیزى شبیه گرامر و دستور زبان است. یکى از مسائل اساسى که در این مرحله در منطق ریاضى به آن توجه شده این است که بین زبانى که به عنوان شىء ساختیم و زبانى که در آن درباره این شىء که در زبان هست مى خواهیم صحبت کنیم، تمایز اساسى وجود دارد. بنابراین هوشمندى در زبان جلوگیرى از پارادوکسهایى است که در طول تاریخ وجود داشته و غالباً ناشى از خلط زبان و مفاهیم فرا زبانى بود مثل عبارت پارادوکس دروغگو.
یکى از مفاهیمى که به نوعى مشترک در زبان شناسى، فلسفه و منطق است و شاید یکى از مفاهیم بسیار اساسى باشد مفهوم «معنادارى» است. اما متأسفانه باید گفت هیچ کدام از این سه شاخه تا کنون قادر به ارائه یک مدل از آن نشده اند.
در این زمینه تحقیقات همچنان ادامه دارد. از مفاهیم اساسى که در نحو زبان وجود دارد مفهوم «برهان» است که در مقابل مفهوم «صدق» قرار دارد. یکى دیگر از علایق اساسى منطق ریاضى رابطه این دو است. اینکه ما در نحو زبان مفاهیمى داریم و آنها را ابداع کردیم و همین طور در دلالت شناسى زبان مفاهیمى را مدل سازى ریاضى کردیم و طبیعتاً روابط به این دو مقوله از علائق اساسى منطق است.
اینکه آیا در یک دستگاه منطقى گزاره اى مثل E اثبات یا استنتاج شود کاملاً یک مفهوم نحوى است که چگونه یک جمله را از بقیه مفروضاتتان تولید کنید. تولید کاملاً یک مفهوم مبتنى بر گرامر زبان است و از طرف دیگر بپرسید که آیا این جمله راست است یا دروغ؟ یک مفهوم معنایى است اینکه خارج از زبان بین این دو چه رابطه اى وجود دارد و بررسى رابطه این دو مفهوم از علائق ذاتى بررسى منطق ریاضى است.
تدوین منطق ریاضى اساساً کار سختى است ولى مى توان گفت بین سالهاى ۱۸۵۰ تا ۱۹۵۰ این کار توسط چندین نفر صورت گرفته است. به نظر من ارسطو اولین کسى که این بنا را بنیاد نهاد. فارغ از اینکه منطق ارسطو از نظر منطق ریاضى چقدر موجه بنماید و مهم باشد، به نظر من کاخ عظیم منطق ریاضى را ارسطو ساخته است.
این کاخ چنان مستحکم بود که حداقل تا ۱۸۷۹ وقتى که فرگه وارد میدان شد، دوام آورد و تصویر و تصور ما را با تجزیه و تحلیلى که نسبت به زبان آغاز کرد از منطق دگرگون کرد. منطق ارسطویى، تحلیلى را از اجزاى جمله شروع مى کند که مبتنى بر موضوع محمول است و رابطه این تصویر را فرگه دگرگون کرد و آن را تبدیل به تابع و شناسه نمود.
بدین ترتیب مفهومى ریاضى وارد میدان شد و تصویر و تصور ما را از مفهوم گزاره و جمله تغییر داد. علاوه بر این فرگه کارهاى دیگرى هم انجام داد که بنیاد منطق ریاضى جدید مبتنى بر کارهاى فرگه است.
سومین کسى که کار انقلابى در منطق کرد اما مبتنى بر کارهاى فرگه بود گودل است. او در حوالى سالهاى ۱۹۳۱ و ۱۹۳۰ دو نوع قضایاى تمامیت و قضایاى نا تمامیت را ارائه کرد. قضیه تمامیت باز مى گردد به همان مفهوم و سؤالى که من در رابطه نحو و معناشناسى مطرح کردم.
آیا در یک دستگاه منطقى یک حکم یا یک گزاره قابل استنتاج صادق است و بالعکس در حکمى که صادق است هر معنایى در همه جهانهاى ممکن آیا این قابل استنتاج است و اگر این دستگاه چنین ویژگى داشته باشد نشان دهنده این است که این دستگاه کامل و تمام است.
گودل در ۱۹۳۰ ثابت کرد که این بنیانگذارى منطق بر شالوده تفکر فرگه براى منطق کامل هست. قضایاى نا تمامیت گودل پیچیده تر و البته مأیوس کننده تر براى تفکر بشرى است.
منبع: http://www.academist.ir
عدد «پی» بازنشسته می‌شود؟
با اینکه مدت‌هاست «پی» به عنوان مهمترین عدد جهان شناخته شده، اما
ریاضیدانان اکنون به این نتیجه رسیده‌اند که دیگر «پی» باید جایگاه خود را
تعویض کند.
به گزارش سرویس علمی خبرگزاری دانشجویان ایران (ایسنا)، به ادعای کارشناسان دانشگاه لیدز، عدد پی که از عددهای ثابت ریاضی و نشان دهنده نسبت محیط دایره به قطر آن است، اشتباه بوده و باید با یک ارزش دیگر موسوم به «تاو» (tau) جایگزین شود.
به گفته ریاضیدانان با اینکه ارزش 3.14159265 برای پی نادرست نیست، اما بنا به ادعای آنها این عدد شاخص متناسبی برای خصوصیات دایره نیست.
آنها همچنین از هم اکنون در حال مبارزه برای بازنویسی کتاب‌های مدارس و جایگزینی عدد تاو هستند که از ارزشی دوبرابر پی - در حدود 6.28 - برخوردار است. در مسیر این مبارزه، آنها 28 ژوئن (28/6) مصادف با هفتم تیرماه را روز تاو نامگذاری کرده‌اند.
از مدت‌ها پیش این عدد به عنوان اصلی اساسی برای بسیاری از فرمول‌های ریاضی و همچنین اصلی بسیار حیاتی در معادلات علوم و مهندسی به شمار می‌رود.
از عدد پی برای محاسبه محیط یک دایره با ضرب قطر در این عدد استفاده می‌شود. این در حالی است که برای استنباط مساحت آن باید عدد پی را ضرب در مجذور شعاع آن کرد.
از سویی ریاضیدانانی که خواهان تعویض این عدد با دوپی یا تاو هستند بر این گفته پافشاری می‌کنند که از آنجایی که بسیاری از فرمول‌ها نیازمند استفاده از عدد تاو هستند، باید از این عدد به عنوان عدد ثابت اصلی دایره استفاده کرد.
به گفته این دانشمدان، ریاضیدانان زوایا را با درجه اندازه‌گیری نکرده بلکه از واریان برای سنجش استفاده می‌کنند و در یک دایره رادیانهای دوپی وجود دارند.
این مساله منجر به پریشانی بسیار در ریاضی می‌شود. اگر تنها یک چهارم دایره را در نظر بگیریم، اندازه آن با یک چهارم رادیانهای دوپی یا نیمی از پی سنجیده می‌شود. برای سنجش تعداد رادیان‌ها در سه چهارم دایره باید فکر کرد و اندازه آن به شکل ساده قابل اندازه‌گیری نیست. اما مورد تاو این مساله فرق دارد. در این حالت، دایره از رادیانهای تائو برخوردار بوده و یک نیم دایره با نیم تاو، یک چهارم دایره با یک چهارم تاو و به همین شکل اندازه گیری می‌شوند.
عدد پی که از حروف اول کلمه یونانی به معنی محیط گرفته شده در ابتدا در سال 1706 به وسیله ویلیام جونز به این نام خوانده شد. عدد پی همچنین به ثابت ارشمیدس نیز معروف است.
در قرن نهم هجری دانشمند وریاضی دان ایرانی غیاث‌الدین جمشید کاشانی عدد پی را تا شانزده رقم اعشار محاسبه کرده بود به نحوی که تا صد و پنجاه سال بعد کسی نتوانست آن را گسترش دهد.
منبع: ایسنا
به گزارش سرویس علمی خبرگزاری دانشجویان ایران (ایسنا)، به ادعای کارشناسان دانشگاه لیدز، عدد پی که از عددهای ثابت ریاضی و نشان دهنده نسبت محیط دایره به قطر آن است، اشتباه بوده و باید با یک ارزش دیگر موسوم به «تاو» (tau) جایگزین شود.
به گفته ریاضیدانان با اینکه ارزش 3.14159265 برای پی نادرست نیست، اما بنا به ادعای آنها این عدد شاخص متناسبی برای خصوصیات دایره نیست.
آنها همچنین از هم اکنون در حال مبارزه برای بازنویسی کتاب‌های مدارس و جایگزینی عدد تاو هستند که از ارزشی دوبرابر پی - در حدود 6.28 - برخوردار است. در مسیر این مبارزه، آنها 28 ژوئن (28/6) مصادف با هفتم تیرماه را روز تاو نامگذاری کرده‌اند.
از مدت‌ها پیش این عدد به عنوان اصلی اساسی برای بسیاری از فرمول‌های ریاضی و همچنین اصلی بسیار حیاتی در معادلات علوم و مهندسی به شمار می‌رود.
از عدد پی برای محاسبه محیط یک دایره با ضرب قطر در این عدد استفاده می‌شود. این در حالی است که برای استنباط مساحت آن باید عدد پی را ضرب در مجذور شعاع آن کرد.
از سویی ریاضیدانانی که خواهان تعویض این عدد با دوپی یا تاو هستند بر این گفته پافشاری می‌کنند که از آنجایی که بسیاری از فرمول‌ها نیازمند استفاده از عدد تاو هستند، باید از این عدد به عنوان عدد ثابت اصلی دایره استفاده کرد.
به گفته این دانشمدان، ریاضیدانان زوایا را با درجه اندازه‌گیری نکرده بلکه از واریان برای سنجش استفاده می‌کنند و در یک دایره رادیانهای دوپی وجود دارند.
این مساله منجر به پریشانی بسیار در ریاضی می‌شود. اگر تنها یک چهارم دایره را در نظر بگیریم، اندازه آن با یک چهارم رادیانهای دوپی یا نیمی از پی سنجیده می‌شود. برای سنجش تعداد رادیان‌ها در سه چهارم دایره باید فکر کرد و اندازه آن به شکل ساده قابل اندازه‌گیری نیست. اما مورد تاو این مساله فرق دارد. در این حالت، دایره از رادیانهای تائو برخوردار بوده و یک نیم دایره با نیم تاو، یک چهارم دایره با یک چهارم تاو و به همین شکل اندازه گیری می‌شوند.
عدد پی که از حروف اول کلمه یونانی به معنی محیط گرفته شده در ابتدا در سال 1706 به وسیله ویلیام جونز به این نام خوانده شد. عدد پی همچنین به ثابت ارشمیدس نیز معروف است.
در قرن نهم هجری دانشمند وریاضی دان ایرانی غیاث‌الدین جمشید کاشانی عدد پی را تا شانزده رقم اعشار محاسبه کرده بود به نحوی که تا صد و پنجاه سال بعد کسی نتوانست آن را گسترش دهد.
منبع: ایسنا